Число π —Число π - математическая константа (величина, значение которой не изменяется; в этом она противоположна переменной. В отличие от физических констант, математические константы определены независимо от каких бы то ни было физических измерений), выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Обозначается буквой греческого алфавита "π". π около равно 3,1415926535...

π - иррациональное количество, то есть π - это это вещественное количество, которое не является рациональным, то есть которое не может оказаться представленным в виде дроби m/n, где m - целое а, n - натуральное количество. Следовательно, его десятичное представление никогда не кончается и не является периодическим. Иррациональность количества π была в первый раз доказана Иоганном Ламбертом в 1767 г. путём разложения количества π в непрерывную дробь. В 1794 г. Лежандр привёл более строгое подтверждение иррациональности чисел π и π2.


π - трансцендентное количество, это значит, что оно не может оказаться корнем некоего многочлена с целыми коэффициентами. Трансцендентность количества π была доказана в 1882 г. профессором Кёнигсбергского (Мюнхенского) университета Линдеманом. В 1984-ом г. это подтверждение упростил Феликс Клейн.

Так как в геометрии Евклида площадь круга и длина окружности являются функциями количества π, то подтверждение трансцендентности π положило конец спору о квадратуре круга (задача о квадратуре круга заключается в нахождении построения при помощи циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данному кругу), длившемуся более 2,5 тыс. лет. Ну, на самом деле, подтверждение неразрешимости задачи сводится к сущим пустякам, если учесть трансцендентности количества π: к примеру, если взять за единицу измерения радиус круга и обозначить за Х длину стороны искомого квадрата, то задача сводится к решению уравнения: Х2 = π, откуда нужно, что Х равен корню квадратному из π. Как видно, при помощи циркуля и линейки возможно выполнить все 4 арифметических действия и извлечение квадратного корня; отсюда нужно, что квадратура круга возможна в том и лишь в том случае, если при помощи конечного количества этих действий возможно построить отрезок длины π, чего в силу трансцендентности сделано быть то и не может.

История количества π шла попутно с развитием математики. Есть даже условное деление на 3 периода: старинный период, в ходе которого π изучалось с позиции геометрии, классическая эра, начавшаяся с развитием математического анализа в Европе в 17 веке, и эра цифровых компьютеров.

Геометрический период

Отношение длины окружности к ее диаметру одинаково для каждый окружности - этот факт был известен ещё древнеегипетским, вавилонским, древнеиндийским и древнегреческим геометрам. Так же им было известно и то, что это отношение составляет немногим более 3-х. Одно из наиболее ранних известных приближений датируется 1900 годом до н. э. В Вавилоне это значение составляло 25/8, а Египте - 256/81. К слову, оба значения отличаются от истинного не более, чем на 1 процент! Вероятно, именно Архимед, первым предложил математический метод вычисления π. Для этого он вписывал в окружность и описывал возле неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Так, рассмотрев правильный 96-угольник, Архимед заполучил оценку:

3 + 10/71 < π < 3 + 1/7

В Индии применяли приближения равные 3,1416 и квадратный корень из 10.

Возле 265 г. н. э. математик Лю Хуэй из царства Вэй предоставил простой и точный итеративный алгоритм для вычисления π с каждый степенью точности. Он своими силами провёл вычисление для 3072-угольника и заполучил приближённое значение для π=3,14159.

Позже Лю Хуэй придумал быстрый способ вычисления π и заполучил приближённое значение 3,1416 лишь только с 96-угольником, применяя преимущества того факта, что разница в площади последующих друг за другом многоугольников формирует геометрическую прогрессию со знаменателем 4. В 480-х гг. китайский математик Цзу Чунчжи продемонстрировал, что π приблизительно равно 355/113, вывив неравенство: 3,1415926 < π < 3,1415927, применяя алгоритм Лю Хуэя применительно к 12288-угольнику. Это значение оставалось наиболее точным приближением количества π на протяжении дальнейших 900 лет.

Классический период

До II-го тысячелетия было известно не более 10 цифр количества π. Хотя истинных математиков, любителей собственного дела, это не могло остановить. Жажда познания, дух соперничества заставляли математиков заниматься, в общем-то, по-моему, бесполезным делом. Дальнейшие большие достижения в изучении π возможно связать с развитием математического анализа, а если быть конкретнее, то с открытием рядов, позволяющих вычислить π с каждый точностью, суммируя подходящее число членов ряда. В 1400-х гг. Мадхава из Сангамаграма отыскал I из этих рядов:

π = 4/1 - 4/3 + 4/5 - 4/7 ...

Этот результат стал известен как ряд Мадхавы-Лейбница, или ряд Грегори-Лейбница (затем как он был снова обнаружен Джеймсом Грегори и Готфридом Лейбницем в 17 веке). Данный ряд сходится к π очень медленно, потому на практике его трудно применить к вычислению количества π. Так, требуется сложить возле 4000 членов ряда, чтоб усовершенствовать оценку Архимеда. Хотя преобразованием этого ряда в несколько другой вид Мадхава сумел вычислить π как 3,14159265359, правильно определив при том 11 цифр в записи количества. Это было рекордом до 1424 г., когда персидский математик Джамшидом ал-Каши в собственном труде под названием "Трактат об окружности" привёл 17 цифр количества π, из которых 16, в последствии, стали верными.

Были и совсем курьезные случаи. К примеру, голландский математик Лудольф ван Цейлен потратил 10 лет на вычисление количества π с 20-ю десятичными цифрами (этот результат был опубликован в 1596 г.). Применив способ Архимеда, он довел удвоение до n-угольника, где n = 60·229. Опубликовав свои результаты в сочинении "Об окружности", он закончил его словами: "У кого есть охота, пускай идет далее". Эта математическая головоломка так увлекла беднягу, что Лудольф завещал, чтоб найденные им знаки были высечены на его надгробном камне. Сделали это или нет - неизвестно, однако вот количество π в честь него время от времени называли "константой Лудольфа" или "лудольфовым числом".

Приблизительно в это же время в Европе начали улучшаться методы анализа и определения бесконечных рядов. Первым подобным представлением была формула Виета найденная Франсуа Виетом в 1593 г.. Иным известным результатом стала Формула Валлиса выведенная Джоном Валлисом в 1655 г..

В Новое время для вычисления π применяются аналитические методы, основанные на тождествах. Хотя все эти формулы стали малопригодны для вычислительных целей, так как или применяют медленно сходящиеся ряды, или требуют непростой операции извлечения квадратного корня.

I-ю эффективную формулу в 1706 г. отыскал Джон Мэчин:

π/4 = 4*arctg(1/5) - arctg(1/239)

Разложив арктангенс подряд Тейлора возможно получить с высокой скоростью сходящийся ряд, пригодный для вычисления количества π с огромной точностью.

Формулы подобного типа, сейчас известные как Формулы Мэчина, применялись для установки некоторого количества последовательных рекордов и остались наилучшими из известных методов для быстрого вычисления π в эпоху компьютеров. Выдающийся рекорд был поставлен феноменальным счетчиком Иоганном Захариусом Дазе, который в 1844 г. по распоряжению Гаусса применил формулу Мэчина для вычисления 200 цифр π в голове. Лучший результат к концу 19 столетия заполучил британец Вильям Шенкс, который потратил 15 лет для вычисления 707 цифр, правда лишь 527 из которых были правильными из-за допущенной ошибки. Ошибку Шенкса нашел 1 из I-х компьютеров в 1948 г., подсчитав за несколько часов 808 знаков количества π. Так началась эра компьютерных вычислений количества π.

Эра компьютерных вычислений

Эпоха цифровой техники привела к значительному увеличению скорости возникновения вычислительных рекордов. Джон фон Нейман с коллегами применяли в 1949 г. ЭНИАК (электронный числовой интегратор и вычислитель - I широкомасштабный электронный цифровой компьютер, который возможно было перепрограммировать для решения полного диапазона задач, построенный в 1946 г. по заказу Армии США в Лаборатории баллистических исследований для расчётов таблиц стрельбы и запущенный 14 фев. 1946 г.) для вычисления 2037 цифр π. Это вычисление заняло 70 часов. Еще 1 тысяча цифр была получена в последующие десятилетия, а отметка в миллион знаков после запятой была пройдена в 1973 г.. Подобный рост имел место не только лишь благодаря более быстрому аппаратному обеспечению, но еще и новым алгоритмам вычисления. Одним из наиболее значительных результатов было открытие в 1960-м г. быстрого преобразования Фурье, что дало возможность с большой скоростью осуществлять арифметические операции над весьма огромными числами.

В начале 20-го века индийский математик Сриниваса Рамануджан нашел большое число новых формул для π, кое-какие из которых стали знаменитыми из-за собственной элегантности и математической глубины. Братья Чудновские в 1987-ом г. составили формулу для вычисления количества π вычисляющую по 14 цифр за ход. Применяя эту формулу для установки некоторого количества рекордов в вычислении π, в итоге 80-х гг. (1989 г.) было получено более млрд (1 011 196 691) цифр десятичного разложения.

В то время как последовательность как правило повышает точность на фиксированную величину с каждым следующим членом, существуют итеративные алгоритмы, которые на каждом шагу умножают число правильных цифр, требуя, правда, высоких вычислительных затрат на каждом из этих шагов. Прорыв в этом отношении был сделан в 1975 г., когда англичане Ричард Брент и Юджин Саламин независимо друг от друга открыли алгоритм Брента- Саламина, который, применяя только арифметику, на каждом шагу удваивает число известных знаков.

При использовании этой схемы двадцати 5 итераций довольно для приобретения сорока 5 млн. десятичных знаков. Похожий алгоритм, увеличивающий на каждом шаге точность в 4 раза, был найден Джонатаном Боруэйном и πтером Боруэйном. С помощью таких методов Ясумаса Канада и его группа, начиная с 1980 г., установили большая часть рекордов вычисления π вплоть до 206 158 430 000 знаков в 1999 г.. 1 из последних рекордов - 1 241 100 000 000 десятичных знаков, был установлен Канадой и его группой в 2002 г.. И впрочем больше всего прошлых рекордов Канады были установлены с помощью алгоритма Брента-Саламина, вычисление 2002 г. использовало 2 формулы типа мэчиновских, которые работали медленнее, однако кардинально снижали применение памяти. Вычисление было выполнено на суперкомпьютере Хитачи из 64 узлов с 1 терабайтом оперативной памяти, способном исполнять 2 триллиона операций в сек..

В 2009 г. исследователи из Университата Цукубо (Япония) рассчитали последовательность из 2 576 980 377 524 десятичных разрядов.

Последний рекорд вычисления принадлежит французу Фабрис Беллару, вычислившему количество π с рекордной на сегодняшний день точностью. Новый рекорд составляет возле 2,7 триллиона (2 триллиона 699 млрд 999 млн. 990 тыс.) десятичных знаков.

Беллар потратил на вычисления возле 103 суток. Для хранения всех цифр потребовалось 1,1 терабайта дискового пространства. Все расчеты проводились на домашнем компьютере, стоимость которого лежит в пределах 2000 евро. Для сравнения, предыдущий рекорд был установлен на суперкомпьютере T2K Tsukuba System, у которого ушло на работу возле 73 часов.